Record Details

Constructing eliptic curves with zero trace of Frobenius endomorphism

Наукові журнали Національного Авіаційного Університету

View Archive Info
 
 
Field Value
 
Title Constructing eliptic curves with zero trace of Frobenius endomorphism
Построение эллиптических кривых с нулевым следом эндоморфизма Фробениуса
Побудова еліптичних кривих з нульовим слідом ендоморфізма Фробеніуса
 
Creator Скуратовський, Руслан Вячеславович; МАУП
 
Subject Information security
finite field; elliptic curve; Edwards curve; order of a curve; Legendre symbol; square; algebraic curve; group of points of an elliptic curve; order of a point; torsion curves
UDC 512.742.72
Информационная безопасность
конечное поле; эллиптическая кривая; кривая Эдвардса; порядок кривой; квадратический вычет; символ Лежандра; алгебраическая кривая; группа точек эллиптической кривой; порядок точки; кривые кручение
УДК 512.742.72
Інформаційна безпека
скінченне поле; еліптична крива; крива Едвардса; порядок кривої; скінчене поле; алгебраїчна крива; група точок еліптичної кривої; порядок точки; криві кручення
УДК 512.742.72
 
Description Most cryptosystems of the modern cryptography can benaturally transform into elliptic curves. We consider Edwardsalgebraic curves over a finite field, which at the presenttime is one of the most promising supports of sets ofpoints that are used for fast group operations[1,2,14].These are found in asymmetric cryptosystems. In particular,for constructing random crypto-stable sequences. It isshown that the projective curve is not elliptic. This paperaims to find the criterion and sufficient conditions for thesupersingularity of the Edwards curve and the elliptic curvein the Montgomery form over the finite field p also a generalizationof this criterion for a finite algebraic extentionof n pF . The result obtained allows us to construct an arbitrarysupersingle curve of Edwards and Montgomery withoutdecomposing on the factors the polynomial from,which is distinguished in the formula by the defining curve.Till now it was proved that only for coefficients1 d 2, d 2   over p [10]. The set of all coefficients ofd Ewhich contribute supersingularity of d E over p isresearched in this paper. Also in purpouse of our paper iscriterion and sufficient conditions of Edwards and ellipticcurves supersingularity over n pF , viz our purpouse is researchingof the parametrs set such that whereby we get apair of cirves with Frobenius trace which is equal to zero.It was found not only the set of such coefficients and characteristicsof fields where these curves are supersingularand general formula which provids a way to check for supersingularcurve over a field n p . In this paper the resultabout supersingular curves with coefficients 1 d 2, d 2  over p obtained in [10] was generalized also formulationof Theorem 3 was refined. The same research was providedfor elliptic curve in the Montgomery form over fieldsp and n p .
Большинство современных криптосистем естествен-ным образом можно реализовать на эллиптическихкривых. Мы рассматриваем алгебраические кривые Эд-вардса над конечным полем, которые в настоящеевремя являются одними из наиболее перспективныхносителей множеств точек, использующихся для быст-рых групповых операций [1, 2, 14] в асимметричныхкриптосистемах, в частности для построения случай-ных криптостойких последовательностей. Показано,что проективная кривая не является эллиптической.Целью работы является поиск критерия и достаточныхусловий суперсингулярности кривой Эдвардса и эл-липтической кривой в форме Монтгомери над конеч-ным полем. Ранее в роботе [10] было представлено до-казательство суперсингулярности кривой d E лишь длякоэфициентов d 2, d 2 1    над p , нашей же цельюесть исследование всех коэффициентов при которыхэта кривая является суперсингулярной. В нашей же ра-боте найдено критерии и достаточные условия супер-сингулярности кривой Эдвардса и эллиптической кри-вой в форме Монтгомери над полем n pF , т.е. исследо-вано множество всех коэффициентов при которых по-лучается пара кривых со следом Фробениуса равным 0.При этом кривые Монтгомери имеют нулевой j-инва-риант над полями характеристики 2. Найдено нетолько конкретное множество коэффициентов с соот-ветвующими характеристиками полей при которыхэти кривые являются суперсингулярными а и общуюформулу по которой можна определить является ликривая суперсингуярной над данным полем или нет. Вработе обобщено результат о суперсингулярностикривой полученный в [10] для коэффициентов1 d 2, d 2   над p на случай произвольного не про-стого поля n p и уточнена формулировка теоремы 3из [10]. Проведено аналогичное исследование и для эл-липтических кривых в форме Монтгомери над полямиp и n p .
Більшість криптосистем сучасної криптографії природним чином можна «перекласти» на еліптичні криві. Ми розг-лядаємо алгебраїчні криві Едвардса над скінчнним полем n pF , які на даний час є одним з найбiльш перспективнихносiїв множин точок, що використовують для швидких групових операцій [1, 2, 14], які наявні в асиметричних крип-тосистемах, зокрема для побудови випадкових криптостійких послідовностей. Показано, що проективна крива a,d Eне є елiптичною. Метою роботи є пошук критерію і достатніх умов суперсингулярності кривої Едвардса і еліптичноїкривої у формі Монтгомері над простим полем p а потім узагальнення цього критерія для скінченного алгебраїчногорозширення цього поля до n pF . В роботі [10] було представлене доведення суперсингулярності кривої d E лише длякоефіцієнтів 1 d 2, d 2   над p , нашою ж метою є дослідження всіх коефіцієнтів при яких ця крива є суперсингу-лярною. В нашій роботі знайдено критерії і достатні умови суперсингулярності кривої Едвардса і еліптичної кривої уформі Монтгомері над полем n pF , тобто досліджено при яких коефіцієнтах отримується пара кривих зі слідом Фро-беніуса рівним 0. При цьому криві Монтгомері над полем характристики 2 мають нульовий j-інварівант. Знайденоне тільки конкретну множину коефіцієнтів з відповідними характеристиками полів при яких ці криві є суперсингуляр-ними, а й загальну формулу за якою можна визначити чи є крива суперсингуярною над даним полем чи ні. В роботіузагальнено результат про суперсингулярність кривої над p отриманий в [10] для коефіцієнтів 1 d 2, d 2   навипадок довільного розширення простого поля n p та уточнено формулювання теореми 3 з [10]. Зроблено аналогічнедослідження і для еліптичних кривих у формі Монтгомері.
 
Publisher National Aviation University
 
Contributor —
—
—
 
Date 2018-03-27
 
Type —
—
—
 
Format application/pdf
application/pdf
application/pdf
 
Identifier http://jrnl.nau.edu.ua/index.php/ZI/article/view/12208
10.18372/2410-7840.20.12208
 
Source Ukrainian Information Security Research Journal; Том 20, № 1 (2018); 32-41
Защита информации; Том 20, № 1 (2018); 32-41
Захист інформації; Том 20, № 1 (2018); 32-41
 
Language uk
 
Relation http://jrnl.nau.edu.ua/index.php/ZI/article/downloadSuppFile/12208/31436
http://jrnl.nau.edu.ua/index.php/ZI/article/downloadSuppFile/12208/31437
 
Rights Authors who publish with this journal agree to the following terms: Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution License that allows others to share the work with an acknowledgement of the work's authorship and initial publication in this journal.Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal's published version of the work (e.g., post it to an institutional repository or publish it in a book), with an acknowledgement of its initial publication in this journal.Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories or on their website) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published work (See The Effect of Open Access).
Авторы, публикующие в данном журнале, соглашаются со следующим: Авторы сохраняют за собой авторские права на работу и предоставляют журналу право первой публикации работы на условиях лицензии Creative Commons Attribution License, которая позволяет другим распространять данную работу с обязательным сохранением ссылок на авторов оригинальной работы и оригинальную публикацию в этом журнале.Авторы сохраняют право заключать отдельные контрактные договоронности, касающиеся не-эксклюзивного распространения версии работы в опубликованном здесь виде (например, размещение ее в институтском хранилище, публикацию в книге), со ссылкой на ее оригинальную публикацию в этом журнале.Авторы имеют право размещать их работу в сети Интернет (например в институтском хранилище или персональном сайте) до и во время процесса рассмотрения ее данным журналом, так как это может привести к продуктивному обсуждению и большему количеству ссылок на данную работу (См. The Effect of Open Access).
Автори, які публікуються у цьому журналі, погоджуються з наступними умовами: Автори залишають за собою право на авторство своєї роботи та передають журналу право першої публікації цієї роботи на умовах ліцензії Creative Commons Attribution License, котра дозволяє іншим особам вільно розповсюджувати опубліковану роботу з обов'язковим посиланням на авторів оригінальної роботи та першу публікацію роботи у цьому журналі.Автори мають право укладати самостійні додаткові угоди щодо неексклюзивного розповсюдження роботи у тому вигляді, в якому вона була опублікована цим журналом (наприклад, розміщувати роботу в електронному сховищі установи або публікувати у складі монографії), за умови збереження посилання на першу публікацію роботи у цьому журналі.Політика журналу дозволяє і заохочує розміщення авторами в мережі Інтернет (наприклад, у сховищах установ або на особистих веб-сайтах) рукопису роботи, як до подання цього рукопису до редакції, так і під час його редакційного опрацювання, оскільки це сприяє виникненню продуктивної наукової дискусії та позитивно позначається на оперативності та динаміці цитування опублікованої роботи (див. The Effect of Open Access).
 

Технічна підтримка: НДІІТТ НАУ